Investigadores de la Freie Universität Berlín han vinculado la belleza de los patrones de teselación con la complejidad matemática, revelando su utilidad en la resolución de problemas matemáticos complejos.
Investigadores de la Freie Universität Berlin han desvelado que el tessellado, o la creación de patrones en un plano, va más allá de ser una simple forma de embellecer superficies. Este método, que consiste en cubrir una superficie con formas geométricas sin dejar espacios ni superposiciones, se ha convertido en una herramienta precisa para abordar problemas matemáticos complejos. Esta es una de las conclusiones principales del estudio titulado “Beauty in/of Mathematics: Tessellations and Their Formulas”, elaborado por Heinrich Begehr y Dajiang Wang, recientemente publicado en la revista científica Applicable Analysis.
El estudio combina resultados de diversas áreas como el análisis complejo, la teoría de ecuaciones diferenciales parciales y la teoría de funciones geométricas. Uno de los enfoques centrales es el “principio de reflexión por parqueting”, que utiliza reflexiones repetidas de formas geométricas a través de sus bordes para crear patrones altamente simétricos. Ejemplos estéticos notables pueden encontrarse en las obras del artista M.C. Escher.
Aparte de su atractivo visual, este principio tiene aplicaciones prácticas en el análisis matemático, sirviendo como base para resolver problemas clásicos como los problemas de frontera Dirichlet y Neumann. “Nuestra investigación demuestra que la belleza en matemáticas no es solo una noción estética, sino que posee profundidad estructural y eficiencia,” afirma el profesor Begehr.
Añade que investigaciones anteriores sobre tessellaciones se habían centrado principalmente en cómo estas formas podían utilizarse para cubrir superficies. Sin embargo, el uso del método de reflexión por parqueting para generar nuevas tessellaciones abre un abanico de posibilidades. Este enfoque práctico puede ser útil para desarrollar representaciones funcionales dentro de estas regiones tesselladas, lo cual resulta relevante en campos como la física matemática y la ingeniería.
Este método permite derivar fórmulas específicas para funciones núcleo, incluyendo los núcleos Green, Neumann, y Schwarz, herramientas fundamentales para resolver problemas de frontera en física e ingeniería. Así, se establece una conexión elegante entre la intuición geométrica y la precisión analítica.
El principio ha ganado notoriedad durante más de diez años, siendo objeto de investigación entre académicos jóvenes. Desde su desarrollo inicial, un total de quince tesis doctorales han abordado este tema en Freie Universität, además de siete tesis adicionales por investigadores internacionales.
Curiosamente, este principio no solo funciona en espacios euclidianos, sino también en geometrías hiperbólicas utilizadas en física teórica y visualizaciones modernas del espacio-tiempo. El interés por esta área sigue creciendo; el año pasado, Begehr publicó un artículo titulado “Hyperbolic Tessellation: Harmonic Green Function for a Schweikart Triangle in Hyperbolic Geometry” donde demostró cómo aplicar el principio para construir funciones armónicas en triángulos Schweikart dentro del plano hiperbólico.
"Esperamos que nuestros resultados resuenen no solo en matemáticas puras y física matemática," comenta Dajiang Wang, "sino que también inspiren ideas en campos como la arquitectura o los gráficos por computadora."
Desde hace casi dos décadas, el grupo de investigación liderado por Heinrich Begehr ha estudiado los conocidos como “tessellados espejo berlinés", basados en el principio unificado desarrollado por el matemático berlinés Hermann Amandus Schwarz. Este enfoque implica reflejar repetidamente un polígono circular hasta cubrir completamente un plano sin superposiciones ni huecos.
Dichos patrones no solo son visualmente impactantes sino que también permiten representaciones integrales explícitas de funciones, lo cual es crucial para resolver problemas complejos relacionados con condiciones límite.
A pesar de su impresionante estética, las tessellaciones en espacios hiperbólicos presentan retos significativos para los matemáticos. Aquí entran los triángulos Schweikart: triángulos especiales con un ángulo recto y dos ángulos nulos, nombrados así por el matemático aficionado y profesor de derecho Ferdinand Kurt Schweikart.
Estos triángulos permiten una cobertura completa regular de un disco circular, generando patrones atractivos que inspiran tanto a artistas gráficos como a arquitectos. Al mismo tiempo, las construcciones matemáticas subyacentes son complejas y requieren métodos analíticos avanzados.
Los hallazgos del equipo subrayan un aspecto frecuentemente pasado por alto: las matemáticas no son solo una disciplina abstracta; son también una ciencia visual donde estructura, simetría y estética desempeñan roles fundamentales. Cuando se combinan con técnicas modernas de visualización y herramientas digitales, estos conocimientos adquieren aún más relevancia.